El teorema de Euler demuestra que el número de aristas
de un poliedro convexo es igual al número de vértices más el número de caras
menos 2.
A=V+C-2
Vamos a demostrar el teorema de Euler con 2
figuras.
1ª demostración: el prisma
Tenemos el prisma de la izquierda con sus
vértices en color verde numerados del 1 al 8.
Empezamos a movernos a través del prisma para
seleccionar todos los vértices pasando por las aristas menos posibles, tenemos
que el número 1 es la arista (señalada como un punto rojo) que pasa por
los puntos verdes 1 y 2, luego seguimos nuestro camino por la arista 2 (las
aristas siempre en color rojo), localizamos así el punto 3 verde. Luego
pasamos por el punto 4 verde y ya no es necesario que hagamos la arista que
pasa por el punto verde 1 y 4 ya que por esos dos puntos pasan las aristas 1 y
3.
Subimos entonces por el punto 4 mediante una
vertical hacemos el recorrido por la arista vertical 4 hasta localizar el
vértice verde 5, pasamos por la arista número 5 localizando el punto verde 6,
pasamos por la arista numerada con el 6 localizando el punto 7 verde, por último,
la arista que recorre del punto 7 al 8 es la última que se traza para que
mediante esas aristas pasemos por todos los puntos.
Podemos concluir entonces que las aristas recorridas
son 7, así lo marcan las cruces rojas mientras que los vértices de las figuras
son 8. En todos los poliedros convexos siempre el número de aristas
recorridas es igual al número de vértices menos 1, efectivamente 7 aristas
recorridas son igual a 8 vértices menos la unidad.
Ar=V-1
Pasamos ahora a la derecha y tenemos nuevamente
el prisma, pero como unos puntos en color azul que señalan las aristas por las
que no hemos pasado, en la base tenemos la arista número 1 mientras que
como aristas verticales tenemos la 2,3 y la 4, por último, en la cara superior
no hemos pasado por la arista que marcamos con el número 5 azul.
Tenemos que el número de aristas no recorridas
con estrellas azules son 5 mientras que el número de caras del prisma son 6, siempre
el número de aristas no recorridas es igual al número de caras menos 1. Anr=
C-1
Tenemos en consecuencia dos ecuaciones, la
primera en color rojo que nos muestra que las aristas recorridas son igual a
los vértices menos 1 y la segunda en color azul que nos dice que las no
recorridas es igual al número de caras menos 1.
Estas dos ecuaciones involucran las aristas, los
vértices y las caras
Si sumamos ambas ecuaciones tal y como aparece
en el cuadro azul tenemos que las aristas recorridas más las no recorridas son
el número total de aristas, eso es igual al número de vértices más el número de
caras, sumamos también los 2 menos 1, y obtenemos que efectivamente el número
de aristas es igual al número de vértices más caras menos 2 y era lo que
queríamos demostrar.
A=V+C-2
El caso de la pirámide:
Tenemos otro ejemplo, en la pirámide el
recorrido de aristas 1,2,3 involucra a los cuatro vértices verdes de la base,
si por el punto 4 pasamos el recorrido hasta el 5 hemos pasado ya por todos los
vértices, por tanto, el número de aristas recorridas es 4, que es igual al
número de vértices, que es 5, menos 1.
4= 5 -1
Ar=V-1
Es lo que aparece en color rojo debajo de la
pirámide de la izquierda.
A la derecha hemos colocado la pirámide igual
que en el caso anterior y en color azul las aristas no recorridas, las aristas
por las que no hemos pasado, sabemos según el ejemplo anterior que las aristas
no recorridas son igual al número de caras menos 1, efectivamente:
4= 5-1.
Anr= C-1
Si sumamos la ecuación roja de la figura de la
izquierda y la ecuación azul de la derecha, tenemos que las aristas recorridas
más las no recorridas son las aristas totales qué es igual a la suma de los
vértices más las caras menos 1 y menos 1, lo que nos determina lo que establece
el teorema de Euler, que el número de aristas es igual al número de vértices
más caras menos 2.
A=V+C-2
